前缀和与差分动画演示
一次累加换 O(1) 区间和；区间批量加法则反过来用差分。
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前缀和把「任意区间的和」变成两次取数一次减法：S[i] 记前 i 个元素之和，a[l..r] 的和就是 S[r+1] 减 S[l]。舞台上面两排格子上下对齐，原数组每建一格，S 就多填一格；S 比原数组长出来的那一格是 0 占位，它让左端为 0 的区间不用特判，也让「前 i 个」这个说法在 i = 0 时有意义。第三排格子是差分数组，逐格由相邻两项相减得到。
差分是前缀和的逆运算，用法也正好相反：想把区间 [l, r] 整体加 v，不去逐个改元素，只在 d[l] 加 v、在 d[r+1] 减 v，全部操作做完再从头累加一次还原。批量区间加很多次的场景里，写入次数从「区间长度之和」降到「操作数的两倍」。还原阶段原数组那一格会留着加了多少的次级说明，可以直接对着看每一位的来路。
前缀和与差分演示怎么用
- 换题面：区间和查询那档逐格建 S 再做三次查询；差分数组那档先建 d，再连做几次区间加，最后一次性还原。
- 盯住占位格：第 0 格单独有一步解释为什么是 1 位数 0：没有它，S[r+1] - S[l] 的写法要在左端为 0 时开小灶。
- 改数据：自定义栏填数字（空格或逗号分隔，上限 12 个），查询区间会按数组长度自动挪位置，还原结果照样能对上暴力解。
- 看两个数组对齐：S 的下标比 a 右移一格，d 的下标和 a 对齐。三排格子并排放，就是为了让你能一眼看出谁多了一格。
常见问题
为什么 S 要多一个 0 占位？
因为「区间和」要减的是 l 左边的和。a[l..r] 里有 r-l+1 个数，左边那段是 a[0..l-1]，它正好是 S[l]。如果 S[i] 定义成「含 a[i] 的前缀」，那 l = 0 时没有左边，得写 if 特判，而且 S[r] - S[l] 会把 a[l] 多减掉或漏掉。多一格 0 之后，所有区间都同一条公式，边界不再特殊。
S[r] - S[l] 和 S[r+1] - S[l] 到底差在哪？
差一个 a[r]。前者算的是 a[l+1..r]（少算左端、多算右端那种错位），后者才是 a[l..r]。这一格偏移是前缀和里出镜率最高的错误，写之前先问自己一句：S 的下标指的是「几个数」。
差分数组为什么只改两个点？
d 是相邻两项之差，把 d[l] 加上 v 之后，从 l 往后逐格还原时每一位都会带上这个 v；而区间只到 r，所以在 r+1 处再减掉 v，让 v 的作用范围正好在 [l, r] 内截住。漏掉 r+1 那一笔，r 之后的所有位置都会被连累多加一次；r 是最后一格时 r+1 越界，要判掉。
前缀和还能配哈希表做什么？
把「区间和等于 k」改写成「S[r] - S[l] = k」，于是扫到 r 时只需要查前面有没有 S 值等于 S[r] - k，用哈希表记每个前缀出现过的次数，一次遍历就能数出满足条件的子数组个数，还能兼容负数。这类题的共通点都是：先算前缀，再把区间条件换成两点的关系。