二分查找动画演示
区间每次减半，边界写法决定你是对是错。
键盘：← → 单步 ·空格 播放/暂停 · R 重置 ·Home/End 到两端
二分的过程只有一件事：把候选区间对半砍。舞台上面那排格子是数组，left、right、mid 三个标注始终挂在格子上，被排除的部分会变灰；下面那排格子是区间状态，每走一步都会把 left、right、区间长度重写一遍。你会发现区间每步都在变小——一旦它停着不动，代码就已经写错了，而这正是二分最常见的事故现场。
四个题面共用同一套骨架，差别全在边界。普通查找命中就返回下标，找不到走 -1 那个出口；lower_bound 与 upper_bound 未命中时返回的是 left，也就是「该插哪儿」；旋转数组找最小则把比较对象从 target 换成 a[right]，循环条件也从 left ≤ right 换成 left < right，因为 right 自己就是候选答案。把这三种出口混着写，代码看着都对，跑起来才知差一格。
二分查找演示怎么用
- 换题面：题面下拉里切普通查找、lower_bound、upper_bound、旋转数组找最小，同一份数组分别跑一遍，边界差别一眼可见。
- 盯区间：状态条里的区间长度只在循环开始时更新；如果连续两步它是同一个数，说明你的 mid 与收缩条件不匹配。
- 试两端：查找目标填成比最大值还大、比最小值还小、正好等于首尾元素这三种，能覆盖住插入位置的全部边界。
- 看溢出那步：第一轮取 mid 之后专门有一步只讲 left + (right - left) / 2 的写法，取值不变但不会先相加越界。
常见问题
二分的死循环到底出在哪？
出在收缩之后区间没真的变小。循环条件写 left < right 却按闭区间把 right ← mid - 1，或者反过来把 left ← mid（不是 mid + 1），都会让某个长度为 2 的区间原地打转。记法：条件是 ≤ 就两侧都 ±1，条件是 < 就必有一侧写 right ← mid。
为什么不写 (left + right) / 2？
两个下标都接近整数上限时，相加这一步就先溢出了，除法救不回来，负数右移得到的 mid 会跑到区间外。left + (right - left) / 2 里相加的两个数最大不超过 right - left，量级小得多，值却完全一样。Java、C++ 的 int 上这是真 bug，不是洁癖。
lower_bound 和 upper_bound 有什么区别，什么时候用？
lower_bound 返回第一个不小于 target 的位置，upper_bound 返回第一个大于 target 的位置。数组里有重复值时两者不同，相减就是 target 出现的次数；没有重复值时 upper_bound 恰好是「插到最后一个相等元素之后」。求区间长度、统计出现次数、把「找不存在的东西」变成「找该插哪儿」，都靠这两个变体。
旋转数组为什么不能直接找 target？
找最小值时你没有任何 target 可比，能用的只有区间内部的关系：a[mid] 大于 a[right]，说明 mid 落在后半段，最小值在它右边；否则最小值是 mid 或更左。这一档的循环条件是 left < right，写成 left ≤ right 会让 right ← mid - 1 把最小值本身扔掉。